Etude théorique d'un probleme aux limites parabolique gouverné par l'équation de Navier-Stokes instationnaire.

Abstract

Les equations de Navier-Stokes, dont l'origine remonte au XVIIIe si ecle, d ecrivent le mouvement d'un uide. En 1755, Leonhard Euler applique les lois de Newton a des volumes in nit esimaux de

uide sans tenir compte des ph enom enes de viscosit e donnant vie aux equations qui portent son nom. Puis en 1822, Claude-Luis Navier (math ematicien et ing enieur (1785-1836)) a la suite des travaux d'Euler, pr esente dans un rapport a l'Acad emie des Sciences, les equations g en erales du mouvement d'un fuide en tenant compte pour la premi ere fois, du frottement int erieur du fuide, c'est- a-dire de la viscosit e. Ces lois sont accept ees et utilis ees par les ing enieurs et les physiciens et sont connues sous le nom d' equations de Navier-Stokes, car George Gabriel Stokes (math ematicien et physicien britannique n e en Irlande (1819-1903)) le premier, les a int egr ees dans di erents cas relativement simples. Les equations de Navier-Stokes sont alors etablies. A ces derni eres s'ajoutent les deux equations de conservation de la masse et de l' energie, forment le syst eme des equations de Navier-Stokes. Le syst eme des equations de Navier-Stokes n'a jamais et e aussi important que depuis l'an 2000, date a laquelle l'institut Clay de math ematiques l'a propos e dans la liste des sept probl emes de mill enaire . En e et, pour ce syst eme, aucun th eor eme d'existence global de solutions r eguli eres assorties de conditions initiales r ealistes ne peut enonc e aujourd'hui. Les probl emes d' ecoulement des uides sont impliqu es dans plusieurs ph enom enes physiques et jouent un r^ole important dans de nombreuses applications industrielles. Le mod ele fondamental en m ecanique des uides est le syst eme bien connu de Navier-Stokes pour les uides visqueux incompressibles qui a et e intensivement etudi e au cours des 80 derni eres ann ees. Souvent, dans l'analyse de l' ecoulement des uides Newtoniens, la propri et e de la viscosit e est consid er ee comme un param etre constant. Cette forte simpli cation du mod ele du mouvement de l' ecoulement peut ^etre justi ee pour l' ecoulement isotherme. Nous consid erons dans ce travail un ecoulement de uide incompressible instationnaire avec une viscosit e constante. Plusieurs exp eriences ont montr e que la condition classique d'adh erence/non glissement entre le uide et la partie inf erieure en mouvement de la fronti ere de son domaine n'est pas satisfaite et le comportement r eel semble ^etre donn e par une condition de frottement de type Tresca [19]. Ce genre de condition aux limites non lin eaire a et e introduite par H. Fujita lors de ses conf erences au Coll ege de France [8]. Pour le probl eme stationnaire, les propri et es d'existence, d'unicit e et de r egularit e des solutions ont et e etablies par H. Fujita et N. Saito ([9], [21]). Pour le probl eme de Stokes lin eaire instationnaire, l'existence et l'unicit e d'une solution sont prouv ees par H. Fujita [10]