Contrôlabilité des systèmes paraboliques avec un seul contrôle

Abstract

Abstract In this memory, we present some methods in order to study the controllability of systems of partial differential equations. We consider the null controllability problem for two coupled paraboic equation with a space-depending coupling term. we analyze both boundary and distributed null controllability. In each case, we exhibit a minimal time of control, that is to say, a time T0 ∈ [0,∞] such that the corresponding system is null controllable at any time T > T0 and is not if T < T0. In the distriduted case, this minimal time depends on the relative position of the control interval and the support of the coupling term. We also prove that, for a fixed control interval and a time τ0 ∈ [0,∞] , there exist coupling terms such that the associated minimal time is τ0. Keywords : Existence and uniqueness, parabolic system, the method of moments and the inequality of Ingham, inequality of observability, Approximate controllability, exact controllability. Résumé Dans cette mémoire, nous présentons quelques méthodes dans le but étudier la contrôlabilité des systèmes d’équations aux dérivées partielles. Nous considérons le problème de contrôlabilité nulle pour deux équations parabolique couplées avec un terme de couplage dépendant de l’espace. Nous analysons à la fois la contrôlabilité nulle aux limites et distribuée. Dans chaque cas, on exhibe un temps de pilotage minimale, c’est-à-dire un temps T0 ∈ [0,∞] et n’est pas T < T0. Dans le cas distribué, ce temps minimal dépende de la position relative de l’intervalle de contrôle et du support du terme de couplage. Nous montrons également que pour tout un intervalle de contrôle fixe et un temps τ0 ∈ [0, ∞] , il existe des termes minimal associé est τ0. Mots clés : Existence et unicité, système parabolique, la méthode des moments et l’inégalité de Ingham, Inégalité d’observabilité, Contrôlabilité approchée, Contrôlabilité exact.