SUR DES PROBLEMES DE COMPL ` EMENTARIT ´ E LIN ´ EAIRE

Abstract

Le sujet traité dans ce mémoire concerne le problème de complémentarité linéaire (P CL), qui se formule comme suit : Soit M une matrice carrée d’ordre n, et q un vecteur de Rn . Le problème consiste à trouver deux vecteurs w = (w1 ,w2 ,...,wn) T et z = (z1 , z2 ,..., zn) T satisfaisant w − Mz = q w ≥ 0, z ≥ 0 et wizi = 0 pour tout i = 1,...,n. Les seules données du problème sont le vecteur q et la matrice carrée M. Dans un (P CL), il n’y a pas de fonction objective à optimiser. Le choix d’une méthode de résolution dépend de la nature de la matrice M. L’importance grandissante de ce problème est mesurée par les différentes applications qu’il couvre, aussi bien en mathématiques que dans la pratique, en l’occurrence : la chimie quantique, la théorie de contrôle, la programmation linéaire. . . [8]. Le (PCL) est un problème général qui réunit les programmes linéaires et quadratiques et les jeux bi-matrices. Le mémoire est divisé en trois chapitres organisés comme suit : Dans le premier chapitre, nous présentons quelques notions de base, de l’analyse convexe, l’existence et les conditions d’optimalité d’un programme mathématique. Le second chapitre est présenté en deux volets Dans le premier, on présente une synthèse générale sur les problèmes de complémentarité linéaire (caractérisation, interprétation géométrique ), la relation entre le (P CL) et d’autres problèmes d’optimisation (programme linéaire (P L), programme quadratique (P Q)) est aussi abordée. Le deuxième volet est consacré à la question de l’existence et l’unicité de la solution. On considère différentes classes de matrices qui nous permettent d’obtenir des résultats sur l’existence et l’unicité de la solution. Dans le troisième chapitre on présente la méthode de Lemke pour résoudre un problème de complémentarité linéaire. Finalement, on termine ce mémoire par une conclusion.