Sur les propriétés topologiques des algèbres de Boole

Abstract

Vers 1847, le mathématicien anglais Georges Boole à définie une nouvelle algèbre dite algèbre de Boole ou algèbre booléenne. Comme en algèbre classique, on traite de fonctions en algèbre booléenne. Mais dans ce dernier cas, les fonctions et les variables ne peuvent prendre que l’une des deux valeurs binaires 0 et 1. Ces fonctions et ces variables sont alors dites booléens ou logiques. L’algèbre de Boole est d’une très grande utilité pour la construction des circuits logiques. Ainsi, au dix-huitième siècle, la logique a fait son apparition grâce aux travaux de plusieurs chercheurs comme Peirce, Schroder, Dedekind, Skolem, Menger etc..., la théorie des treillis a longtemps été négligée, avant de prendre son essor à partir des années 30, grâce à des auteurs et chercheurs comme Klein, Bir-khoff, Ore, Stone, Kurosh , Tarski , Glivenko, von Neumann, etc..., la transformant en branche fertile de l’algèbre. C’est à cette époque qu’on découvre que la structure de treillis se retrouve dans de nombreux domaines mathématiques tels que : l’algèbre, la géométrie, la logique, l’analyse fonctionnelle, etc... ; mais ce n’est que vers les années 60 que l’aspect combinatoire des treillis va se développer, en liaison avec la naissance de l’informatique et donc l’accroissement des besoins en informatique, algorithmique, programmes et combinatoire. Ainsi on découvre la notion des ensembles ordonnés et leurs éléments remarquables pour ces ensembles, et on donne aussi un rappel sur la théorie des ensembles, et enfin de compte cite les propriétés topologiques des algèbres de Boole et le théorème de Stone. Dans ce mémoire, nous nous intéressons particulièrement aux propriétés topologiques des algèbres de Boole et le théorème de Stone. Ce document est organisé de la manière suivante : Le premier chapitre est constitué des définitions et des concepts de base, on va donner des rappels et quelques compléments sur les ensembles ainsi que sur les ensembles ordonnés et leurs propriétés (borne sup, borne inf, et les autres éléments remarquables), et les homomorphismes d’ensembles ordonnés, ainsi que les ensembles bien ordonnés, et enfin de compte on va introduire la notion de treillis (distributif, complémenté et fermé), et on va conclure par la notion de treillis de Boole, théories axiomatiques des ensembles, des ordinaux et cardinaux. dans le second chapitre on va étudier les algèbres de Boole en général (atomes dans une algèbre de Boole, homomorphisme d’algèbre de Boole, idéaux et filtres). Le dernier chapitre sera consacré au théorème de représentation de Stone.