Global Phase Portraits for Some Classes of Cubic Polynomial Di fferential Systems

Abstract

في رسالتنا هذه قمنا بدراسة الديناميكية النوعية لبعض الفئات من الأنظمة التفاضلية المستوية وغير الخطية، وبالتحديد وكخطوة أولى تمكنا من إيجاد كل الحلول الهندسية لخمس جمل تفاضلية ذات منحنيات جبرية ثابتة من الدرجة الثالثة. قمنا أيضا بإيجاد كل الحلول الهندسية في قرص بوانكاريه للأنظمة التفاضلية العامة لما يسمى بأنظمة كوكلز من الدرجة الثامنة، كما تمكنا من حل الجزء الثاني من المسألة السادسة عشر لهيلبرت للأنظمة التفاضلية الخطية لهاميلتون والتي لا تملك نقاط توازن ومفصلولة بمنحنيات جبرية من الدرجة الثالثة غير قابلة للتحليل. الكلمات المفتاحية: أنظمة تفاضلية متعددة الحدود، منحنيات جبرية ثابتة، الحلول الدورية المعزولة، الحلول الهندسية الكلية، طريقة المتوسط لحساب عدد الحلول الدورية، الأنظمة التفاضلية لهاميلتون، المنحنيات الجبرية من الدرجة الثالثة وغير القابلة للتحليل. Abstract: In this thesis, a study of a qualitative dynamics of some classes of nonlinear planar differential systems has been done. More precisely, in the first part we give the global phase portraits of five new classes of differential systems with cubic invariant algebraic curves, then we give the seven global phase portraits in the Poincaré disc of a generalized Kukles differential system of degree eight. In the second part we solve the second part of 16th Hilbert problem of planar discontinuous piecewise linear Hamiltonian systems without equilibrium points separated by irreducible cubics. Keywords: Polynomial differential systems, invariant algebraic curves, limit cycles, global phase portraits, averaging method, linear Hamiltonian systems, irreducible cubic curves. Résumé : Dans cette thèse, une étude de la dynamique qualitative de certaines classes de systèmes différentiels planaires non linéaires a été réalisée. Plus précisément, dans la première partie, nous donnons les portraits de phase globaux de cinq nouvelles classes de systèmes différentiels à courbes algébriques cubiques invariantes, puis nous donnons les sept portraits de phase globaux dans le disque de Poincaré d'un système différentiel de Kukles généralisé de degré huit. Dans la deuxième partie, nous résolvons la deuxième partie du 16ème problème de Hilbert des systèmes Hamiltoniens linéaires planaires discontinus par morceaux sans points d'équilibre séparés par des cubiques irréductibles. Mots clés : Systèmes différentiels polynomiaux, courbes algébriques invariantes, cycles limites, portraits de phase globaux, méthode de moyennage, systèmes Hamiltoniens linéaires, courbes cubiques irréductibles.