Contrôlabilité approchée et exacte de quelques système d évolution

Abstract

Dans ce mémoire, nous présentons quelques méthodes dans le but d étudier la contrôlabilité de systèmes d équations aux dérivées partielles. L objet principal de ce mémoire est d étudier les propriétés du contrôle simultané de deux équations d ondes unidimensionnelles (fortement couplées) lorsque le contrôle agit sur le bord. Plus précisément on s intéresse plus à la contrôlabilité approchée et exacte de systèmes hyperboliques formés de deux équations des ondes linéaires couplées, le couplage est une fonction régulière mais elle peut changer de signe, avec un seul contrôle par le bord, nous choisissons d étudier le cas avec des vitesses d ondes identiques et di¤érents. On commence par rappeler des résultats généraux d existence et d unicité de solutions pour ces systèmes et de dualité entre contrôlabilité et observabilité, puis on présente un outil (l inégalité de Ingham) permettant d établir des inégalités d observabilité. Notre preuve du résultat principal est basée sur une description précise du spectre associé au sys- tème et qui se comporte asymptotiquement comme l équation des ondes. On prouve des conditions nécessaires et su¢ santes pour la contrôlabilité approchée et exacte.