Introduction à la Théorie des groupes

Abstract

La notion de groupe a été introduite explicitement en mathématiques, au début du dixneuvième siècle. Elle intervient en effet à cette époque, pour la première fois, dans les travaux relatifs aux équations algébriques, sous forme de groupes de permutations des racines de ces équations ; il s’agissait donc de groupes finis. C’est en exploitant cette idée qu’Evariste Galois obtient en 1832 ses résultats définitifs sur la résolution (par radicaux) des équations polynomiales, qui constituent le fondement de ce qu’on développera plus tard sous le nom de théorie de Galois. A peu près au même moment, des groupes sont mis en évidence en géométrie, notamment, des groupes de symétries de polygones ou polyèdres réguliers (ce sont encore des groupes finis), puis des groupes (finis ou non) de transformations du plan ou de l’espace. Ces familles de groupes ainsi que leurs généralisations et leurs applications seront ultérieurement, à la base, d’une part, de la théorie de la représentation linéaire des groupes, en particulier des groupes finis , et, d’autre part, de la définition et de l’étude des groupes classiques. Par ailleurs, on peut constater que le champ d’application des groupes a très largement dépassé le domaine des mathématiques au sens restreint, en permettant notamment l’interprétation et l’explication de nombreux phénomènes physiques. C’est ainsi que la théorie de la représentation linéaire des groupes finis est utilisée à propos de questions liées aux symétries des cristaux et des molécules, et que les groupes semi-simples (issus des groupes de Lie) ont été introduits en physique théorique (théorie de la relativité et mécanique quantique). De même, la théorie des groupes classiques est à la base de l’étude des particules élémentaires.[6] Dans le premier chapitre nous introduisons les notions de base de groupe et de sous-groupe et en donnons des exemples. Nous définissons ensuite le sous-groupe engendré par une partie d’un groupe. Cela nous amène à parler des groupes monogènes. Enfin, nous abordons les homomorphismes de groupe à la fin du chapitre. Le deuxième chapitre, après un bref rappel sur les relations d’équivalence, aborde les groupes 3 TABLE DES MATIÈRES 4 quotients. On démontre le théorème de Lagrange, pour finir avec les théorèmes d’isomorphisme. Le troisième chapitre introduit les actions de groupes et s’achève par la démonstration des théorèmes de Sylow.