Résolution des équations intégrales non linéaire

Abstract

Depuis le travail du célèbre mathématicien Niels Abel dans les années 1820, les analystes ont eu un intérêt continu pour les équations intégrales. Plusieurs mathématiciens modernes, notamment Cauchy, Fredholm, Hilbert, Volterra, et d autres, sont associées à ce sujet. Il ya essentiellement deux raisons à cet intérêt. Dans certains cas, comme dans l oeuvre d Abel sur les courbes tauto- chrones, les équations intégrales sont un modèle mathématique qui surgit naturellement dans la représentation de l une des situations physiquement intéressantes. La seconde, et peut-être celle qui a plus d avantages, c est que les opérateurs intégraux, les transformations et les équations intégrales, sont des outils pratiques pour l étude des équations di¤érentielles. Par conséquent, les techniques d équations intégrales sont bien connues par des analystes classiques, c est ainsi que de nombreux résultats élégants et puissants ont été développés. Jusqu à la dernière décennie du siècle passé, dans le domaine des mathématiques appliquées, peu d ingénieurs et de numériciens sont intéressés aux connaissances pratiques des équations intégrales, puisque dans la modélisation mathématique l accent a été traditionnellement mis sur les équations di¤érentielles. Cependant, vu la pluridisciplinarité des travaux publiés récemment sur les équations intégrales comme un outil mathématique réaliste et inévitable, cette situation a commencé à changer. Notre objectif dans ce mémoire est de présenter quelques méthodes de résolution numérique des équations intégrales non linéaires de Fredholm ou de Volterra en utilisent des techniques d ap- proximation récentes, notamment les formules de quadratures et les approximations succéssives. Ainsi, ce mémoire est réparti essentiellement en trois chapitres suivis d une annexe. Le premier chapitre est une esquisse d une théorie générale sur les équations intégrales, dont on trouve une classi cation avec quelques modèles typiques apparaissent d une manière naturelle lors de la modélisation de certains problèmes non linéaires de la science et de la technologie ou bien par remaniement de certaines équations di¤érentielles ordinaires ou partielles. Le deuxième chapitre est essentiellement consacré à l analyse fonctionnelle des équations in- tégrales, notamment la question d existence et d unicité. Dans cette partie du travail nous allons faire appel à la théorie du point xe de Banach pour donner les conditions nécessaires et su¢ - santes. Le troisième chapitre traite les di¤érentes méthodes de la résolution approchée de ce type d équations, ainsi nous allons présenter une méthode mixte à la résolution des équations intégrales non linéaires. Et pour tester l e¢ cacité de cette méthode, quelques résultats numériques seront donnés.