Théorie du Contrôle Optimal-Existence de la solution optimale.

Abstract

La théorie du contrôle optimal peut être décrite comme l étude des stratégies pour in- uencer de manière optimale un système d état X (:) avec une dynamique évoluant dans le temps selon une équation di¤érentielle ordinaire (EDO). L in uence sur le système est mod- élisée comme une fonction u (:), appelé le contrôle (ou la commande) qui est autorisé(e) à prendre des valeurs dans un espace métrique séparable (U; d) appelé l espace d action. Pour qu un contrôle soit optimal, il doit minimiser (ou maximiser) une fonctionnelle d objective, qui dépend globalement de l état contrôlé du système X (:) et du contrôle u (:) sur un in- tervalle de temps [0; T]. En générale ce problème d optimisation est de dimension in nie, puisque nous optimisons une fonctionnelle sur un espace de fonctions qui est un espace de dimension in nie. Comme pour tout problème d optimisation, lorsque on est face à un problème de con- trôle optimal on est amené à répondre à deux questions fondamentales : 1) La première question qui se pose est le problème d existence, i.e. existe-il une fonction u (:) qui minimise (ou maximise) la fonctionnelle objective ? Dans le cas où la réponse à cette question est positive, il est intéressant de se poser le problème d unicité de la solution optimale. 2) Si l existence d une solution au problème est assurée, on peut alors mener une étude "quantita- tive" qui tend à caractériser la solution optimale via des conditions d optimalités nécessaires et su¢ santes. L objet de ce mémoire se focalise essentiellement sur la question d existence pour une classe de problèmes de contrôle optimal assez générale. Plus précisément, notre mémoire comporte trois chapitres. Voici un bref résumé sur chacun d eux