Abstract:
La théorie du contrôle optimal peut être décrite comme l étude des stratégies pour in-
uencer de manière optimale un système d état X (:) avec une dynamique évoluant dans le
temps selon une équation di¤érentielle ordinaire (EDO). L in uence sur le système est mod-
élisée comme une fonction u (:), appelé le contrôle (ou la commande) qui est autorisé(e) à
prendre des valeurs dans un espace métrique séparable (U; d) appelé l espace d action. Pour
qu un contrôle soit optimal, il doit minimiser (ou maximiser) une fonctionnelle d objective,
qui dépend globalement de l état contrôlé du système X (:) et du contrôle u (:) sur un in-
tervalle de temps [0; T]. En générale ce problème d optimisation est de dimension in nie,
puisque nous optimisons une fonctionnelle sur un espace de fonctions qui est un espace de
dimension in nie.
Comme pour tout problème d optimisation, lorsque on est face à un problème de con-
trôle optimal on est amené à répondre à deux questions fondamentales : 1) La première
question qui se pose est le problème d existence, i.e. existe-il une fonction u (:) qui minimise
(ou maximise) la fonctionnelle objective ? Dans le cas où la réponse à cette question est
positive, il est intéressant de se poser le problème d unicité de la solution optimale. 2) Si
l existence d une solution au problème est assurée, on peut alors mener une étude "quantita-
tive" qui tend à caractériser la solution optimale via des conditions d optimalités nécessaires
et su¢ santes.
L objet de ce mémoire se focalise essentiellement sur la question d existence pour une
classe de problèmes de contrôle optimal assez générale. Plus précisément, notre mémoire
comporte trois chapitres. Voici un bref résumé sur chacun d eux
