Résumé:
Dans la nature, plusieurs phénomènes sont gouvernés par une classe d’équations différentielles
à retard (E.D.R). Comme leur non indique, ces équations généralement
l’évolution des variables dépendant nous seulement des valeurs actuelles mais dépendant
aussi irréductiblement des valeurs prises dans le passé autrement dit elles tiennent compte
de l’effet du passé dans la prédiction du futur.
Les équations différentielles à retard constituent un champs d’étude très important pour
modéliser des phénomènes d’hérédité rencontrés en physique, biologie, chimie, économie,
écologie, etc. Malgré que dans la plupart des modèles, le retard est estimé non signicatif et
ignoré pour simplifie l’étude, il a été prouvé que dans de nombreux cas, le retard joue un
rôle dominant dans plusieurs domaines et que les modèles avec retard fournissent des résultats
plus précis et réalistes que leurs homologue sans retard.
À notre connaissance l’apparition des équations différentielles à retard remonte au 18ème
siècle. L’analyse de ces équations à commencer dans les années cinquante, ces années ont
vu une explosion de la théorie qui a été largement développée et les (E.D.R) fait partie du
vocabulaire des chercheurs travaillant sur la viscoélasticité, les problèmes mécaniques, les
réacteurs nucléaires, le flux de chaleurs, les réseaux de neurones, la combustion, l’interaction
des espèce, les modèles micro-biologiques, épidémiologiques ou physiologique, ainsi
que beaucoup d’autres.
Dans ce mémoire nous nous sommes intéressés à introduire quelques notions de base
pour l’étude des systèmes d’équations à retard, le reste de ce travail est décomposé en trois
chapitres.
Le premier chapitre est un état de l’art sur les équations différentielles à retard. Après une
définition générale, une classification des types d’équations et quelques exemple, nous passons
à un rappel du quelques notions de base et certaines résultats de la théorie d’existence
et d’unicités des solutions. Ensuite, nous nous intéressons plus particulièrement à présent
la théorie de la stabilité des systèmes à retard.
Le deuxième chapitre, qui est consacré à l’étude des équations différentielle à retard
constant, on donne une définition générale, la solution et théorème d’existence et d’unicité
de la solution. Nous nous intéressons plus à la méthode d’intégration de ces équations.
Puis, on termine dans le troisième chapitre par l’étude des équations différentielles dépendant
de l’état : où on s’intéressera à la définition, existence et unicité des solution. Enfin,
nous terminons ce travail par une conclusion.
