Introduction aux équations différentielles à retard

Abstract

Dans la nature, plusieurs phénomènes sont gouvernés par une classe d’équations différentielles à retard (E.D.R). Comme leur non indique, ces équations généralement l’évolution des variables dépendant nous seulement des valeurs actuelles mais dépendant aussi irréductiblement des valeurs prises dans le passé autrement dit elles tiennent compte de l’effet du passé dans la prédiction du futur. Les équations différentielles à retard constituent un champs d’étude très important pour modéliser des phénomènes d’hérédité rencontrés en physique, biologie, chimie, économie, écologie, etc. Malgré que dans la plupart des modèles, le retard est estimé non signicatif et ignoré pour simplifie l’étude, il a été prouvé que dans de nombreux cas, le retard joue un rôle dominant dans plusieurs domaines et que les modèles avec retard fournissent des résultats plus précis et réalistes que leurs homologue sans retard. À notre connaissance l’apparition des équations différentielles à retard remonte au 18ème siècle. L’analyse de ces équations à commencer dans les années cinquante, ces années ont vu une explosion de la théorie qui a été largement développée et les (E.D.R) fait partie du vocabulaire des chercheurs travaillant sur la viscoélasticité, les problèmes mécaniques, les réacteurs nucléaires, le flux de chaleurs, les réseaux de neurones, la combustion, l’interaction des espèce, les modèles micro-biologiques, épidémiologiques ou physiologique, ainsi que beaucoup d’autres. Dans ce mémoire nous nous sommes intéressés à introduire quelques notions de base pour l’étude des systèmes d’équations à retard, le reste de ce travail est décomposé en trois chapitres. Le premier chapitre est un état de l’art sur les équations différentielles à retard. Après une définition générale, une classification des types d’équations et quelques exemple, nous passons à un rappel du quelques notions de base et certaines résultats de la théorie d’existence et d’unicités des solutions. Ensuite, nous nous intéressons plus particulièrement à présent la théorie de la stabilité des systèmes à retard. Le deuxième chapitre, qui est consacré à l’étude des équations différentielle à retard constant, on donne une définition générale, la solution et théorème d’existence et d’unicité de la solution. Nous nous intéressons plus à la méthode d’intégration de ces équations. Puis, on termine dans le troisième chapitre par l’étude des équations différentielles dépendant de l’état : où on s’intéressera à la définition, existence et unicité des solution. Enfin, nous terminons ce travail par une conclusion.