Résumé:
La méthode de Newton est une méthode numérique couramment utilisée pour approcher les
solutions d’une équation ou d’un système d’équations. Le but a été de formaliser le théorème
de Kantorovitch qui montre la convergence de la méthode Newton vers une solution, l’unicité
de la solution dans un voisinage et la vitesse de la convergence de la méthode.
La première partie de ce mémoire est consacrée aux différentiabilité et points fixes dans
l’espace de Banach. La différentiabilité concerne différence notion de dérivé dans l’espace de
Banach, il y a essentiellement la dérivabilité au sens de Gâteaux et la dérivabilité au sens
de Fréchet. On introduit leurs définitions, quelque Théorème et les opérations sur les deux
notions de dérivés. On traitera la relation entre la différentielles de Fréchet et de Gâteaux.
Dans la section du points fixes on présente un théorème d’existence pour une application
contractante puis quelque théorème des point fixe sur des espaces de Banach.
Le seconde chapitre est consacrée à la méthode de Newton-Kantorovich pour la résolution
des équations non linéaire. On présente le théorème de Newton-Kantorovich dans les espaces
de Banach, qui assure l’existence, et l’unicité locale d’une solution et la convergence des
approximations successives sous certaines conditions.
Le dernier chapitre est concerne à la résolution d’un system d’équations intégrales non
linéaires par la méthode de Newton-Kantorovich. On montre l’existence et l’unicité de la
solution et on étudie l’estimation de l’approximation. On preuve la validité de la méthode par
des exemples numérique.
