Méthode de Newton-Kantorovich

Abstract

La méthode de Newton est une méthode numérique couramment utilisée pour approcher les solutions d’une équation ou d’un système d’équations. Le but a été de formaliser le théorème de Kantorovitch qui montre la convergence de la méthode Newton vers une solution, l’unicité de la solution dans un voisinage et la vitesse de la convergence de la méthode. La première partie de ce mémoire est consacrée aux différentiabilité et points fixes dans l’espace de Banach. La différentiabilité concerne différence notion de dérivé dans l’espace de Banach, il y a essentiellement la dérivabilité au sens de Gâteaux et la dérivabilité au sens de Fréchet. On introduit leurs définitions, quelque Théorème et les opérations sur les deux notions de dérivés. On traitera la relation entre la différentielles de Fréchet et de Gâteaux. Dans la section du points fixes on présente un théorème d’existence pour une application contractante puis quelque théorème des point fixe sur des espaces de Banach. Le seconde chapitre est consacrée à la méthode de Newton-Kantorovich pour la résolution des équations non linéaire. On présente le théorème de Newton-Kantorovich dans les espaces de Banach, qui assure l’existence, et l’unicité locale d’une solution et la convergence des approximations successives sous certaines conditions. Le dernier chapitre est concerne à la résolution d’un system d’équations intégrales non linéaires par la méthode de Newton-Kantorovich. On montre l’existence et l’unicité de la solution et on étudie l’estimation de l’approximation. On preuve la validité de la méthode par des exemples numérique.