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Méthode de Newton-Kantorovich
(université de Bordj Bou-Arréridj Faculté des mathématiques et de l'informatique, 2013) Bisset, Yamena; Benouerkhou, Fatma
La méthode de Newton est une méthode numérique couramment utilisée pour approcher les solutions d’une équation ou d’un système d’équations. Le but a été de formaliser le théorème de Kantorovitch qui montre la convergence de la méthode Newton vers une solution, l’unicité de la solution dans un voisinage et la vitesse de la convergence de la méthode. La première partie de ce mémoire est consacrée aux différentiabilité et points fixes dans l’espace de Banach. La différentiabilité concerne différence notion de dérivé dans l’espace de Banach, il y a essentiellement la dérivabilité au sens de Gâteaux et la dérivabilité au sens de Fréchet. On introduit leurs définitions, quelque Théorème et les opérations sur les deux notions de dérivés. On traitera la relation entre la différentielles de Fréchet et de Gâteaux. Dans la section du points fixes on présente un théorème d’existence pour une application contractante puis quelque théorème des point fixe sur des espaces de Banach. Le seconde chapitre est consacrée à la méthode de Newton-Kantorovich pour la résolution des équations non linéaire. On présente le théorème de Newton-Kantorovich dans les espaces de Banach, qui assure l’existence, et l’unicité locale d’une solution et la convergence des approximations successives sous certaines conditions. Le dernier chapitre est concerne à la résolution d’un system d’équations intégrales non linéaires par la méthode de Newton-Kantorovich. On montre l’existence et l’unicité de la solution et on étudie l’estimation de l’approximation. On preuve la validité de la méthode par des exemples numérique.
Séries de Frobenius dans les équations différentielles ordinaires linéaires à coefficients variables
(université de Bordj Bou-Arréridj Faculté des mathématiques et de l'informatique, 2013-06) Mekias, Asma; Mairi, Imene
Résume Dans ce mémoire, on présente la méthode de Frobenius pour résoudre les équations différentielles ordinaires linéaires à coefficients variables. Cette méthode est une généralisation de la méthode de Taylor. La solution est locale au voisinage de trois points : point ordinaire et point singulier régulier et point singulier irrégulier : -au point ordinaire on utilise le développement de Taylor. -au point singulier régulier on utilise le développement de Frobenius. -au point singulier irrégulier on utilise le développement asymptotique. Abstract In this work, we present the method of Frobenius to solve ordinary lineair differential equations with variable coefficients. This method is generalization of the Taylor method. The solution is in the neighborhood of a point. There are three characteristiques points: ordinary point, singular regular point and singular irregular point. -In the neighborhood of an ordinary point we use the Taylor series. - In the neighborhood of a singular regular point we use the Frobenius series. - In the neighborhood of a singular irregular point we use the asymptotic series.
Sur les propriétés topologiques des algèbres de Boole
(université de Bordj Bou-Arréridj Faculté des mathématiques et de l'informatique, 2013-06-25) Kebabi, Hala; Labachi, Houria
Vers 1847, le mathématicien anglais Georges Boole à définie une nouvelle algèbre dite algèbre de Boole ou algèbre booléenne. Comme en algèbre classique, on traite de fonctions en algèbre booléenne. Mais dans ce dernier cas, les fonctions et les variables ne peuvent prendre que l’une des deux valeurs binaires 0 et 1. Ces fonctions et ces variables sont alors dites booléens ou logiques. L’algèbre de Boole est d’une très grande utilité pour la construction des circuits logiques. Ainsi, au dix-huitième siècle, la logique a fait son apparition grâce aux travaux de plusieurs chercheurs comme Peirce, Schroder, Dedekind, Skolem, Menger etc..., la théorie des treillis a longtemps été négligée, avant de prendre son essor à partir des années 30, grâce à des auteurs et chercheurs comme Klein, Bir-khoff, Ore, Stone, Kurosh , Tarski , Glivenko, von Neumann, etc..., la transformant en branche fertile de l’algèbre. C’est à cette époque qu’on découvre que la structure de treillis se retrouve dans de nombreux domaines mathématiques tels que : l’algèbre, la géométrie, la logique, l’analyse fonctionnelle, etc... ; mais ce n’est que vers les années 60 que l’aspect combinatoire des treillis va se développer, en liaison avec la naissance de l’informatique et donc l’accroissement des besoins en informatique, algorithmique, programmes et combinatoire. Ainsi on découvre la notion des ensembles ordonnés et leurs éléments remarquables pour ces ensembles, et on donne aussi un rappel sur la théorie des ensembles, et enfin de compte cite les propriétés topologiques des algèbres de Boole et le théorème de Stone. Dans ce mémoire, nous nous intéressons particulièrement aux propriétés topologiques des algèbres de Boole et le théorème de Stone. Ce document est organisé de la manière suivante : Le premier chapitre est constitué des définitions et des concepts de base, on va donner des rappels et quelques compléments sur les ensembles ainsi que sur les ensembles ordonnés et leurs propriétés (borne sup, borne inf, et les autres éléments remarquables), et les homomorphismes d’ensembles ordonnés, ainsi que les ensembles bien ordonnés, et enfin de compte on va introduire la notion de treillis (distributif, complémenté et fermé), et on va conclure par la notion de treillis de Boole, théories axiomatiques des ensembles, des ordinaux et cardinaux. dans le second chapitre on va étudier les algèbres de Boole en général (atomes dans une algèbre de Boole, homomorphisme d’algèbre de Boole, idéaux et filtres). Le dernier chapitre sera consacré au théorème de représentation de Stone.
Champ de Vecteurs Différentiel
(université de Bordj Bou-Arréridj Faculté des mathématiques et de l'informatique, 2013-06-25) Bouguerra, Souad; Rahal, Nadjet
Résolution des équations intégrales non linéaire
(université de Bordj Bou-Arréridj Faculté des mathématiques et de l'informatique, 2013-06-29) Sehili, Boumediene; Teharbit, Imad
Depuis le travail du célèbre mathématicien Niels Abel dans les années 1820, les analystes ont eu un intérêt continu pour les équations intégrales. Plusieurs mathématiciens modernes, notamment Cauchy, Fredholm, Hilbert, Volterra, et d autres, sont associées à ce sujet. Il ya essentiellement deux raisons à cet intérêt. Dans certains cas, comme dans l oeuvre d Abel sur les courbes tauto- chrones, les équations intégrales sont un modèle mathématique qui surgit naturellement dans la représentation de l une des situations physiquement intéressantes. La seconde, et peut-être celle qui a plus d avantages, c est que les opérateurs intégraux, les transformations et les équations intégrales, sont des outils pratiques pour l étude des équations di¤érentielles. Par conséquent, les techniques d équations intégrales sont bien connues par des analystes classiques, c est ainsi que de nombreux résultats élégants et puissants ont été développés. Jusqu à la dernière décennie du siècle passé, dans le domaine des mathématiques appliquées, peu d ingénieurs et de numériciens sont intéressés aux connaissances pratiques des équations intégrales, puisque dans la modélisation mathématique l accent a été traditionnellement mis sur les équations di¤érentielles. Cependant, vu la pluridisciplinarité des travaux publiés récemment sur les équations intégrales comme un outil mathématique réaliste et inévitable, cette situation a commencé à changer. Notre objectif dans ce mémoire est de présenter quelques méthodes de résolution numérique des équations intégrales non linéaires de Fredholm ou de Volterra en utilisent des techniques d ap- proximation récentes, notamment les formules de quadratures et les approximations succéssives. Ainsi, ce mémoire est réparti essentiellement en trois chapitres suivis d une annexe. Le premier chapitre est une esquisse d une théorie générale sur les équations intégrales, dont on trouve une classi cation avec quelques modèles typiques apparaissent d une manière naturelle lors de la modélisation de certains problèmes non linéaires de la science et de la technologie ou bien par remaniement de certaines équations di¤érentielles ordinaires ou partielles. Le deuxième chapitre est essentiellement consacré à l analyse fonctionnelle des équations in- tégrales, notamment la question d existence et d unicité. Dans cette partie du travail nous allons faire appel à la théorie du point xe de Banach pour donner les conditions nécessaires et su¢ - santes. Le troisième chapitre traite les di¤érentes méthodes de la résolution approchée de ce type d équations, ainsi nous allons présenter une méthode mixte à la résolution des équations intégrales non linéaires. Et pour tester l e¢ cacité de cette méthode, quelques résultats numériques seront donnés.
Aspects théorique de l’optimisation multi-objectif
(université de Bordj Bou-Arréridj Faculté des mathématiques et de l'informatique, 2016-07-20) THLEDJANE, NOOR EL HOUDA; SALIK, NESRINE
Ce mémoire avait pour objectif de présenter dans un premier temps les principales définitions nécessaires à la présentation des problèmes d’optimisation multi-objectifss. Puis différentes problématiques liées aux spécificités du multi-objectifs, comme l’intervention du décideur dans le processus de décision, les choix des méthodes d’optimisation ‘a utiliser ou encore l’analyse de performances ont été évoquées afin de montrer l’étendue du spectre des recherches dans le domaine.
Les espaces quotients
(Université Mohamed el-Bachir el-Ibrahimi Bordj Bou Arréridj Faculté de Mathématique et Informatique, 2019) Chenahat, Bouchra; Touahria, Selma
Lorsque on passe au quotient on regroupe les éléments équivalent (pour une relation d’équivalence ) pour une propriété qui s’intéresse puis on travail sur ces "regroupements" (sur l’ensemble quotient) avec une structure semblable à celle de l’ensemble initial. L’objet de ce mémoire est étude les notion des espaces quotients et de donnée les théorème de factorisation.
Introduction aux équations différentielles à retard
(2020) BISSE, Meriem; BISSET, Meriem
out au long de ce travail, nous avons considéré des équations différentielles à retard. Notre but était de rappeler des définitions générales, des exemples ainsi que des résultats d’existence et d’unicité de la solution pour ces équations à retard. Après une introduction générale sur le sujet, dans le chapitre, bref aperçu historique sur la théorie des équations différentielles à retard notamment quelques notions de base et certaines résultats de la théorie d’existence et d’unicités des solutions. Dans le chapitre 2, nous avons étudié un cas particulier de ces équations pour un retard constant, suivi d’une méthode d’intégration connue sur le nom "Méthode des étapes" pour déterminer la solution. Enfin, dans le dernier chapitre nous avons étudié les équations différentielles à retard dépendant de l’état, plus précisément, on a démontre l’existence et unicité de la solution d’une équation différentielle à retard dépendant de l’état en utilisant le théorème d’Ascoli et théorème de point fixe.
Étude théorique d’un problème aux limites parabolique gouverné par l’équation de Stokes instationnaire
(Université Mohamed el-Bachir el-Ibrahimi Bordj Bou Arréridj Faculté de Mathématique et Informatique, 2020) Hammouche, Chaima
Les équations de Navier-Stokes ou de Stokes ont une grande utilisation dans la mécanique des fluides malgré que leur étude mathématique est loin d’être totalement achevée, et de nombreuse chose reste à comprendre. Dans ce mémoire, on a fait quelques notions fondamentales d’analyse fonctionnelle qui sont nécessaire pour l’étude de l’existence et l’unicité de solution en dimension 3 du système de Stokes, muni de la loi de Tresca (cette condition non linéaire rajoute une difficulté supplémentaire au problèmes habituellement étudié). On a fait une description de ce système et on a présenté la méthode de Galerkin pour montrer l’existence de la vitesse et le théorème de De Rham pour la pression.
synthèse sur les lois de comportement en mécanique des solides déformables
(Université Mohamed el-Bachir el-Ibrahimi Bordj Bou Arréridj Faculté de Mathématique et Informatique, 2020) HAMIDI, SARA; GHODBANE, HANANE
PROPRI´ET´ES ´EL´EMENTAIRES DES DISTRIBUTIONS
(Université Mohamed el-Bachir el-Ibrahimi Bordj Bou Arréridj Faculté de Mathématique et Informatique, 2020) Amrouche, Meriem; Khalfa, Soumia
Dans ce travail ,on a d´efinis les op´erations sur les distributions on commen¸cons tout d’abord par les d´efinir sur les fonctions localement sommable et en suite on a g´en´eralis´e les d´efinitions obtenue `a l’ensemble des distributions . • On a chercher `a r´esoudre des ´equations diff´erentielles en utilisant les distributions op´erateur diff´erentiel et la convolution ,enfin on a abord´e en particulier la convergence des s´eries de Fourier .
Stabilisation de l’équation des ondes semi linéaire avec termes sources et dissipatifs
(Université Mohamed el-Bachir el-Ibrahimi Bordj Bou Arréridj Faculté de Mathématique et Informatique, 2020) BOUAKAZ, Hadjer; ABED, Chaima
Dans ce travail, nous avons considéré une équations aux dérivées partielles de type hyperbolique, plus précisément, on étudie l’équation des ode semi linaire dans un domaine qu’est un sous ensemble de Rn. Après une introduction, dans le Chapitre 1, nous avons introduit quelques rappels de notions d’analyse fonctionnelle. Ensuite, dans le Chapitre 2, nous avons étudiè l’existance et l’unicité de la solutions pour notre problème en utilisant la méthode de Faedo-Galarkin. Enfin, dans le dernier Chapitre, nous avons établi un résultat un résultats de stabilité exponentielle du problème sous certaines hypothèses (H1) et (H2). Dans ce travail, nous avons utilisé la méthodes des multiplicateurs. La stabilisation de l’équation des ondes semi linaire avec des dissipations forte et faible est un problème qui nous semble technique, et qui peut se résoudre en définissant une bonne fonction de de Lyapunov.
Théorie du Contrôle Optimal-Existence de la solution optimale.
(université de Bordj Bou-Arréridj Faculté des mathématiques et de l'informatique, 2020-08) ZOUAOU, ASMA; SATOURI, LYNDA
La théorie du contrôle optimal peut être décrite comme l étude des stratégies pour in- uencer de manière optimale un système d état X (:) avec une dynamique évoluant dans le temps selon une équation di¤érentielle ordinaire (EDO). L in uence sur le système est mod- élisée comme une fonction u (:), appelé le contrôle (ou la commande) qui est autorisé(e) à prendre des valeurs dans un espace métrique séparable (U; d) appelé l espace d action. Pour qu un contrôle soit optimal, il doit minimiser (ou maximiser) une fonctionnelle d objective, qui dépend globalement de l état contrôlé du système X (:) et du contrôle u (:) sur un in- tervalle de temps [0; T]. En générale ce problème d optimisation est de dimension in nie, puisque nous optimisons une fonctionnelle sur un espace de fonctions qui est un espace de dimension in nie. Comme pour tout problème d optimisation, lorsque on est face à un problème de con- trôle optimal on est amené à répondre à deux questions fondamentales : 1) La première question qui se pose est le problème d existence, i.e. existe-il une fonction u (:) qui minimise (ou maximise) la fonctionnelle objective ? Dans le cas où la réponse à cette question est positive, il est intéressant de se poser le problème d unicité de la solution optimale. 2) Si l existence d une solution au problème est assurée, on peut alors mener une étude "quantita- tive" qui tend à caractériser la solution optimale via des conditions d optimalités nécessaires et su¢ santes. L objet de ce mémoire se focalise essentiellement sur la question d existence pour une classe de problèmes de contrôle optimal assez générale. Plus précisément, notre mémoire comporte trois chapitres. Voici un bref résumé sur chacun d eux
Les méthodes proximales pour l’optimisation non différentiable
(université de Bordj Bou-Arréridj Faculté des mathématiques et de l'informatique, 2020-09) NEFNAF, kenza
Les algorithmes d’optimisation sont généralement écrits pour minimiser une fonction. Si l’on désire maximiser une fonction, il suffira de minimiser son opposée. Nous nous intéressons aux méthodes d’optimisation adaptées au cas où la fonction à minimiser est convexe mais non différentiable. De manière général, les méthodes pour l’optimisation non différentiable s’inspirent largement des méthodes différentiables. Dans ce mémoire, on s’intéresse aux méthodes proximaux pour résoudre des problèmes d’optimisation non différentiable qui s’écrivent sous la forme : 8< : Minimiser F(x) = f1(x) + · · · + fm(x), x 2 Rn. (1) Où f1, f2, · · · , fm sont des fonctions convexes ne sont pas toutes différentiable. Il y a une classe spécifique d’algorithmes qui peuvent résoudre le problème d’optimisation (1). Pour m = 2, la fonction F que nous voulons minimiser n’est pas différentiable, car certains algorithmes dits de splitting permettent de minimiser la somme de fonctions en alternant des opérations élémentaires utilisant chacune des fonctions prises séparément. Ce mémoire est divisé en deux chapitres. Le premier chapitre est consacré au rappel de quelques notions de base sur la convexité et d’autre part on présente les outils spécifiques d’optimisation non lisse comme le sous différentiel et les opérateurs monotones. Nous étudierons ensuite les conditions d’optimalité dans le cadre non lisse. Dans le deuxième chapitre, on s’intéresse à l’opérateur proximal et ses propriétés. Nous étudierons plusieurs algorithmes proximaux et leur cadre d’applications, l’algorithme du point proximal, l’algorithme Forward- Backward et l’algorithme Douglas-Rachford ainsi que l’algorithme des directions alternées. Pour conclure cette partie nous verrons comment un même problème peut être réécrit de plusieurs manières et ainsi être résolu via divers algorithmes. On termine ce mémoire par une conclusion finale.
ON THE PROPERTIES OF FUZZY CONVEX ORDERED SUBGROUPS
(université de Bordj Bou-Arréridj Faculté des mathématiques et de l'informatique, 2020-09) SAÂDALLAH, SARA; BESSAI, NESRINE
Most of problems encountered can be modelled mathematically, but these models require assumptions that are sometimes too restrictive, making application to the real world difficult. Real-world problems must take into account imprecise, uncertain information. The concept of fuzzy set was introduced in 1965 by A. Zadeh [3], many authors were interested by this concept [1, 4, 13]. The main problem in fuzzy mathematics is how to carry out the ordinary concepts to the fuzzy case. The partially ordered algebraic systems play an important role in algebra. Some important concepts in partially ordered systems are ordered groups and lattice ordered groups. These concepts play a major role in many branches of Algebra. In 1971, A. Rosenfeld applied the notion of fuzzy set theory on group theory in his book [2], he introduced the concept of fuzzy subgroup and show that many theorem can be extended to develop the fuzzy group theory. Next, many authors worked on fuzzy theory and introduced the concept of fuzzy orders, fuzzy cosets and fuzzy lattice [7, 9, 15]. Convexity play an important role in the study of compatible orders, ordered groups and especially in lattice-ordered groups. Our main aim in this work is to investigate some properties and characterizations theorems of the fuzzy convex subgroup (resp. fuzzy convex lattice-ordered subgroup) of an ordered group (resp. lattice-ordered group). Some more results related to this topic are also derived. This memory is organized in three chapter as follows : In the first chapter, we recall some definitions and well-known about the ordered sets, coset, groups, and ordered groups. This chapter also focuses on lattice, lattice-ordered group and some related concept which we will need in the sequel. In the second chapter, we give some basic notions and generalities about the fuzzy sets, their characteristic notion and level sets. Also, we define fuzzy subgroup and give some properties. In the last chapter, we specified our searches about convexity in fuzzy case more precisely fuzzy convex subgroups and fuzzy convex lattice-ordered subgroups.
Algèbres de Leibniz
(université de Bordj Bou-Arréridj Faculté des mathématiques et de l'informatique, 2020-09) Bentaleb, Abdelaziz
Le but de notre mémoire est d’étudier les algèbres de Leibniz pour cela on a dé ni les espaces vectoriels, et les applications linéaire. Les algèbres de Leibniz sont des algèbres dont le produit, noté [ ; ], satisfait une certaine forme de l’identité Jacobi, sans aucune hypothèse de symétrie. Ainsi, toutes les algèbres de Lie sont Leibniz. Et on parle sur les propriétés des algèbres de Leibniz, résoluble, nilpotentes, null liforme, liforme, simple et semi-simple.
Etude théorique d'un probleme aux limites parabolique gouverné par l'équation de Navier-Stokes instationnaire.
(université de Bordj Bou-Arréridj Faculté des mathématiques et de l'informatique, 2020-09-05) Arrous, mouna; Ghalmi, khalissa
Les equations de Navier-Stokes, dont l'origine remonte au XVIIIe si ecle, d ecrivent le mouvement d'un uide. En 1755, Leonhard Euler applique les lois de Newton a des volumes in nit esimaux de uide sans tenir compte des ph enom enes de viscosit e donnant vie aux equations qui portent son nom. Puis en 1822, Claude-Luis Navier (math ematicien et ing enieur (1785-1836)) a la suite des travaux d'Euler, pr esente dans un rapport a l'Acad emie des Sciences, les equations g en erales du mouvement d'un fuide en tenant compte pour la premi ere fois, du frottement int erieur du fuide, c'est- a-dire de la viscosit e. Ces lois sont accept ees et utilis ees par les ing enieurs et les physiciens et sont connues sous le nom d' equations de Navier-Stokes, car George Gabriel Stokes (math ematicien et physicien britannique n e en Irlande (1819-1903)) le premier, les a int egr ees dans di erents cas relativement simples. Les equations de Navier-Stokes sont alors etablies. A ces derni eres s'ajoutent les deux equations de conservation de la masse et de l' energie, forment le syst eme des equations de Navier-Stokes. Le syst eme des equations de Navier-Stokes n'a jamais et e aussi important que depuis l'an 2000, date a laquelle l'institut Clay de math ematiques l'a propos e dans la liste des sept probl emes de mill enaire . En e et, pour ce syst eme, aucun th eor eme d'existence global de solutions r eguli eres assorties de conditions initiales r ealistes ne peut enonc e aujourd'hui. Les probl emes d' ecoulement des uides sont impliqu es dans plusieurs ph enom enes physiques et jouent un r^ole important dans de nombreuses applications industrielles. Le mod ele fondamental en m ecanique des uides est le syst eme bien connu de Navier-Stokes pour les uides visqueux incompressibles qui a et e intensivement etudi e au cours des 80 derni eres ann ees. Souvent, dans l'analyse de l' ecoulement des uides Newtoniens, la propri et e de la viscosit e est consid er ee comme un param etre constant. Cette forte simpli cation du mod ele du mouvement de l' ecoulement peut ^etre justi ee pour l' ecoulement isotherme. Nous consid erons dans ce travail un ecoulement de uide incompressible instationnaire avec une viscosit e constante. Plusieurs exp eriences ont montr e que la condition classique d'adh erence/non glissement entre le uide et la partie inf erieure en mouvement de la fronti ere de son domaine n'est pas satisfaite et le comportement r eel semble ^etre donn e par une condition de frottement de type Tresca [19]. Ce genre de condition aux limites non lin eaire a et e introduite par H. Fujita lors de ses conf erences au Coll ege de France [8]. Pour le probl eme stationnaire, les propri et es d'existence, d'unicit e et de r egularit e des solutions ont et e etablies par H. Fujita et N. Saito ([9], [21]). Pour le probl eme de Stokes lin eaire instationnaire, l'existence et l'unicit e d'une solution sont prouv ees par H. Fujita [10]
Nouvelles méthodes algèbriques avec le point fixe commun
(université de Bordj Bou-Arréridj Faculté des mathématiques et de l'informatique, 2020-09-05) Khamadj, Samiha; Attaoua, djamila
Résumé Ce mémoire s’inscrit dans la continuité des travaux sur le point fixe commun dans des espaces métriques complets. Notre travail consiste à étudier quelques résultats d’existence et l’unicité du point fixe commun pour des fonctions Torsions qui commutent entre eux avec les hypothèses de continuité, et parfois de compacité et convexité. De plus, cette étude est clôturée par des applications. Trouver les conditions d’existence du point fixe commun dans la boule et établir un critère de trouver la racine réelle des polynômes de degré 3 et 5.
Crossing limit cycles for some classes of piecewise linear systems
(université de Bordj Bou-Arréridj Faculté des mathématiques et de l'informatique, 2020-09-05) Ouidir, Siham; Kaabour, Randa
The study of piecewise linear di erential systems is relatively recent. Such that the dynamics of the piecewise linear di erential systems started to be studied around 1930, mainly in the book of Andronov et al [1], which is russian version. The contribution of Andronov, Vitt and Khaikin [1] provided the basis for the development of the theory for this system. Many researchers from di erent elds interested this kind of di erential systems, one of the reasons for this interest in the mathematical community is that these systems are widely used to model phenomena appearing in mechanics, electronics, economy, neuroscience,..., and it can be used to model applied problems, such as electronic circuits, biological systems, mechanical devices, etc, see for instance the book [6]. A limit cycle is a periodic orbit of a di erential system in R2 isolated in the set of all periodic orbits of that system. The study of the limit cycles goes back essentially to Poincar e [20] at the end of the 19th century. One of the main problems in the dynamics of the di erential systems in the plane is to control the existence and the number of their limit cycles. This problem restricted to polynomial di erential systems is the famous 16th Hilbert's problem. see more in [12, 14, 13]. The existence of limit cycles became important in the applications to the real world, because many phenomena are related with their existence,see for instance the van der Pol oscillator [22]. Thus in recent years, the theory of piecewise linear di erential systems has been increasingly developed and studied in order to understand the dynamics that such systems may have. In this sense one of the points of greatest interest is to obtain a lower bound for the maximum number of limit cycles that may arise around a single equilibrium point on the discontinuity set (i.e., on the region separating the linear di erential systems). This investigation started with the simplest possible case: the continuous piece- wise linear di erential systems with two zones separated by a staight line. Lum and Chua [18, 19] in 1991 conjectured that such di erential systems have at most one limit cycle. Later this conjecture was proved by Freire, Ponce, Rodrigo and Torres [9] in 1998. while for the planar discontinuous piecewise linear di erential systems in R2. Of course, the simplest piecewise linear di erential systems in R2 are the ones having only two pieces separated by a curve, and when this curve is a straight line. Han and Zhang [11] obtained di erential systems having two limit cycles and conjured that the maximum number of limit cycles of such class of di erential systems is two. But in this last years many authors have studied the limit cycles of discontinuous piecewise linear di erential systems in R2. Thus the limit cycles of these last class of discontinuous piecewise linear di erential systems has been intensively studied, see [2, 3, 7]. Up to know the results of all these papers only provide examples that the discontinuous piecewise linear di erential systems in R2 separated by a straight line can have 3 crossing limit cycles.
Introduction aux équations différentielles à retard
(université de Bordj Bou-Arréridj Faculté des mathématiques et de l'informatique, 2020-09-05) BISSET, Meriem
Dans la nature, plusieurs phénomènes sont gouvernés par une classe d’équations différentielles à retard (E.D.R). Comme leur non indique, ces équations généralement l’évolution des variables dépendant nous seulement des valeurs actuelles mais dépendant aussi irréductiblement des valeurs prises dans le passé autrement dit elles tiennent compte de l’effet du passé dans la prédiction du futur. Les équations différentielles à retard constituent un champs d’étude très important pour modéliser des phénomènes d’hérédité rencontrés en physique, biologie, chimie, économie, écologie, etc. Malgré que dans la plupart des modèles, le retard est estimé non signicatif et ignoré pour simplifie l’étude, il a été prouvé que dans de nombreux cas, le retard joue un rôle dominant dans plusieurs domaines et que les modèles avec retard fournissent des résultats plus précis et réalistes que leurs homologue sans retard. À notre connaissance l’apparition des équations différentielles à retard remonte au 18ème siècle. L’analyse de ces équations à commencer dans les années cinquante, ces années ont vu une explosion de la théorie qui a été largement développée et les (E.D.R) fait partie du vocabulaire des chercheurs travaillant sur la viscoélasticité, les problèmes mécaniques, les réacteurs nucléaires, le flux de chaleurs, les réseaux de neurones, la combustion, l’interaction des espèce, les modèles micro-biologiques, épidémiologiques ou physiologique, ainsi que beaucoup d’autres. Dans ce mémoire nous nous sommes intéressés à introduire quelques notions de base pour l’étude des systèmes d’équations à retard, le reste de ce travail est décomposé en trois chapitres. Le premier chapitre est un état de l’art sur les équations différentielles à retard. Après une définition générale, une classification des types d’équations et quelques exemple, nous passons à un rappel du quelques notions de base et certaines résultats de la théorie d’existence et d’unicités des solutions. Ensuite, nous nous intéressons plus particulièrement à présent la théorie de la stabilité des systèmes à retard. Le deuxième chapitre, qui est consacré à l’étude des équations différentielle à retard constant, on donne une définition générale, la solution et théorème d’existence et d’unicité de la solution. Nous nous intéressons plus à la méthode d’intégration de ces équations. Puis, on termine dans le troisième chapitre par l’étude des équations différentielles dépendant de l’état : où on s’intéressera à la définition, existence et unicité des solution. Enfin, nous terminons ce travail par une conclusion.